Testning För En Glidande Medelvärde Unit Rot

Testing for Unit Roots. Tidsserieanalys handlar om identifiering, uppskattning och diagnostisk kontroll av stationära tidsserier. Genom översyn ger vi följande definitioner. Definition Sekvensen sägs vara kovarians stationär om för alla t och ts. That är, medelvärdet, variansen och kovariansen är invarianta till tidpunkten. Definition Definierar att vi har sekvensen tt 0,1,2, med medelvärdet m och variansen s 2 Då ges autokorrelationsfunktionen eller korrelogrammet av. Sta vi en serie t som vi vet att den har genererats med en AR 1-process, säger. where och et är vitt brus. Vi kan uppskatta parametrarna i 1 av OLS. Vår estimator är effektiv och serien är stationär eftersom vi kan använda en t-statistik för att testa hypotesen. Detta är ett legitimt test eftersom nollpunkten är en refutable hypotes, även om kraften mot en lokal suppleant är försumbar. Men antar att data verkligen genererades av. På grund av rekursiv substitution kan detta skrivas om som. som det inte är nstationära eftersom det blir stort Nu skulle vi vilja testa. Det är emellertid ett problem, eftersom mitten av massan av den vanliga estimatorn skulle begränsas bort från 1. Vi skulle tendera att fel på sidan för att avvisa för många H 0 The Frågan om närvaro av enhetsrot är särskilt problematisk i regressionsmodeller av sorten. Vi antar vanligtvis att t och t är båda stationära och att et är vitt brus Om de två variablerna är icke-stationära så kommer vi sannolikt att få falska resultat höga R 2 och statistiskt signifikanta koefficienter även om det inte kan finnas ett meningsfullt förhållande mellan y och z. Det finns fyra fall att överväga. Både t och t är stationära och den klassiska regressionsmodellen är o k. Sekvenserna t och t är integrerade av olika order Regressionsmodeller som innehåller sådana icke-stationära serier är meningslösa. Den icke-stationära t och t är båda integrerade i ordning 1, och felperioden har en stokastisk drift. Nu är alla fel permanent. Det är E teti Et Men vi kan tillämpa OLS med bra effekt to. t och t är integrerade av samma ordning och restsekvensen är stationär. Då t och t sägs vara samintegrerad. Exempelvis. Både t och t är enhetsprocesser men yt - zte yt-e zt är stationär Vi lämnar fall 4 tills kapitlet om samverkan För närvarande kommer vi att ta hand om att bestämma om seriet t har en enhet root. Dickey-Fuller Tests. Consider datagenereringsprocessen. Och den därmed sammanhängande frågan , är en 1 1 Subtrahera y t-1 från båda sidor för att få. g. 0 innebär att 1 1 innebär en rotationsenhet i t. Vi kan tillåta drift genom att inkludera en intercept. Definition Termen stokastisk drift kommer från följande. Antag att processen är. Vi kan skriva om detta som. I nästa period, iet 1, är avlyssningen aoa 1 t 1 större, till vilken vi lägger till en stokastisk term. Vi har sett denna idé om en stokastisk avskiljning någon annanstans. Namnlösa i slumpmässiga effekter . Vi kan tillåta en linjär trend med drift. Under alla omständigheter, vår t est av hypotesen är. Teststatistiken vi använder för hypotesprovet är konstruerad som en t-statistik som är. De kritiska värdena kommer från en uppsättning tabeller som utarbetats av Dickey och Fuller. Tabellerna genererades empiriskt. Vi är vana vid att göra test med kritiska värden har vi bestämt oss analytiskt genom integration av en känd distributionsfunktion. Den särskilda tabellen som ska användas beror på om modellen har en avlyssning eller en trend i det. De kritiska värdena ändras dock inte genom att inkludera termer på högra sidan . För att vägleda dig i testproceduren, överväga följande flödesschema från Walter Enders, Applied Econometric Time Series, Wiley, 1995. Man börjar i det övre vänstra hörnet med den vanligaste modellen, som inkluderar en stokastisk drift och en deterministisk trend. trend eller drift kan ge upphov till en enhetsrots i sig, så de måste ingå i början. Minns att en utesluten relevant variabel introducerar förspänning, men en inkluderad irrelevant variabel har endast en kostnad när det gäller effektivitet Om noll på en rot inte avvisas fortsätter du genom att testa för betydelsen av trendperioden i närvaro av en rotationsenhet. Om trendtermen inte är signifikant testar du sedan för betydelsen av driftperioden Om vi ​​längs vägen finner att antingen trenden eller driften inte är noll så fortsätter vi omedelbart för att testa för betydelsen av g. Följande modeller har passat i Federal Reserve Bank produktionsindex för perioden 1950 1 - 1977 4, totalt 112 observationer I alla tre modellerna är siffrorna inom parentes standardfel. Det vanligaste läget, som motsvarar flödesdiagrammets början, är. På 5 nivå av test 2 5 i varje svans det kritiska värdet för koefficienten på y t-1 för en modell med drift och trend är -3 73, jämfört med en observerad teststatistik på 3 6, så vi misslyckas att avvisa nullet För närvarande tror vi att det ska vara en enhet Rot Nästa vi passar en modell som påför t Han begränsar det g 0 och testar för att se om trendkoefficienten är noll. Observera att trendkoefficienten är mycket signifikant på grundval av ett konventionellt t-test. En modell med drift men ingen trend och som antar att det finns en rotationsenhet är. Nu testet av hypotesen är. H o enhetsrot, ingen trend H 1 en eller båda är inte sanna. Den lämpliga teststatistiken är konstruerad som om det var ett F-test, men det kritiska värdet läses från en annan uppsättning av bord. Det kritiska värdet på 5-nivån är 6 49, så vi misslyckas med att neka nollpunkten. Vår slutsats är att det finns en rotationsenhet och att trenden ska uteslutas. En modell med varken drift eller trend, men vilken antar en enhet rot är. Testet av hypotesen är. H o enhetsroten, ingen trend, ingen drift H 1 en eller flera belong. The kritiska värdet vid testnivå 1 är 6 50 Eftersom vår observerade teststatistik är mindre än den kritiskt värde, misslyckas vi med att neka nollpunkten. Vår slutsats är att det finns en enhetsrot, det finns varken tren d eller drift. Extension of Dickey-Fuller. Suppose att datagenereringsprocessen är. Detta är ganska allmänt mer än processen vi började med. Det kommer också att erkänna en mångfald rötter. Vi måste förstärka Dickey-Fuller för att testa För denna möjlighet Låt oss överväga AR 3 processen. Vi kommer att lägga till och subtrahera en 3 y t-2 för att få. Nå lägg till och subtrahera en 2 a 3 y t-1 för att få. Traktligen subtrahera y t-1 från båda sidor. Nu kan vi testa om en enhetsrots närvaro Vi vet att om koefficienterna i en skillnadsekvation summa till en då är åtminstone en rot enhet. I nuvarande sammanhang uppgår detta till test g 0, som i det enklare fallet Den kritiska värden för den här förhöjda modellen förblir densamma som tidigare, eftersom en tidsutveckling orsakar huvudvärk när det är dags att härleda OLS-estimatets stora provegenskaper eftersom xx inte längre är ändamålsenlig. Problem med DF och förstärkt DF .1 Felbegreppet kan ha ett glidande medelvärde i det. Sätt AL y t CL et och rötterna till CL ligger alla utanför cirkeln så CL är inverterbar. Därefter kommer DL att vara oändligt, men vi kan använda vår tidigare procedur för att skriva. Med våra ändliga dataset kan vi vara problemfria om inte för det faktum att det har visats empiriskt att en god approximation kommer att skära av den fördelade fördröjningen vid T3-termen.2 Vad är den lämpliga laglängden för de olika termerna som ingår i RHS. Problemet med för många lag reducerar effektiviteten Av uppskattaren Detta är ett mycket mindre allvarligt problem än att använda för få lags Såsom påpekats tidigare kommer exkluderande relevanta variabler att påverka OLAS-estimatets bias och konsekvens.3 DF-test för att se om det finns minst en rot Antag att det finns mer. Till exempel kan man uppskatta parametrarna för modellen 1-L 2 ytb 1 1-L y t-1 et Man skulle då använda DF-statistiken, beroende på fallet, för att testa b 1 0 Om b1 0 då är 2 enheter rötter, om det inte är noll då måste man fortsätta och t Est att se om det finns en enda enhetsrota. Förfarandet är generaliserat på det uppenbara sättet.4 Hur vet vi vilka deterministiska regressorer som hör till modellen. De förfaranden som används i FRB-produktionsexemplet och i problem 2 och 3 använder kaskadprov av hypotes Som det framgår av Theil, reducerar principerna för ekonometri, Wiley, 1971, den påstådda signifikansnivån av testet i varje efterföljande steg. Samma linjer skulle domaren och hans många medförfattare hävda att proceduren som skisseras i flödesschemat sätter in riket av förtesting och därmed högre kvadratfelförlust över en stor del av parameternumret. I tillämpad verksamhet ignorerar vi ofta dessa försummelser och använder processen i flödesdiagrammet. Ett annat exempel köpkraftsparitet. Under PPP, valutakursen avskrivningarna är ungefär lika med skillnaden mellan den inhemska och utländska inflationen. PPP-modellen innebär att varornas prisnivå pt logg på den utländska prisnivån en logg av dollarkurset för utländsk valuta dt avvikelse från PPP vid tidpunkt t. De tre dataserierna tillämpar logtransformationen så att vi använder inflationen. I vissa PPP-modeller är det möjligt för verkliga chocker på antingen efterfrågan eller utbudet att orsaka permanenta avvikelser Intuitivt bör avvikelserna inte kvarstå eller det skulle finnas stora möjligheter till vinsttagande. Och ändå skulle en sådan vinsttagning och arbitrage återställa PPP så småningom. Ett populärt förfarande i den empiriska modelleringen av PPP är att konstruera serien. Om PPP ska hålla då rt måste vara stationär med nollvärde Dessutom kan det varken vara trend eller stokastisk drift För att avgränsa och förutse materialet i en annan sektion sägs etpt och pt vara samverkande när PPP-modellen är sann. Denna specifika formulering av modellen innebär ett specifikt samverkande vektor på de tre variablerna. Till månadsdata för före 1960 1 - 1971 4, T 136 och post 1973 1 - 1986 11, T 167 Bretton Woods eras För att få följande resultat, med koefficientstandardfel inom parentes. Notera att en 2 0 för den senare perioden Denna orsak ensam ifrågasätter PPP: s giltighet. I ingen av perioderna kan vi avvisa enhetsrots null. Den observerade t är liten enligt vilken standard som helst. Växlingen i växelkursregimen har gjort växelkurserna mer flyktiga och oförutsägbara se SD och SEE. I det här exemplet misslyckas vi med att neka enhetsrots null Vi kan inte tro på PPP-modellen Men vårt testförfarande är Beräknas på den konstanta variansen av felperioden, vilket inte verkar vara fallet. Phillips och Perron har utformat korrigerad teststatistik för de fall då felet är en MA, är kanske heterogen eller det finns en strukturell paus i data. Struktural Change. How kan vi berätta skillnaden mellan en serie som har en strukturell paus i den, men skulle annars vara stationär och en serie som inte är stationär, men som på grund av en impuls verkar utvecklas som e första serien Tänk på en modell där det finns ett skifte i interceptet. Där DL är en för många på varandra följande perioder och noll annars. Ett exempel är följande figur. Den röda linjen är originalserien Den blå linjen är den enkla regressionen av yt I tid a -3 543, b 189 I regressionen av yt på y t-1 får vi. Starkt bryter den strukturella pausen att koefficienten på y t-1 är förspänd mot en För alla framträdanden är yt inte stationär, fastän vi vet Det är stillastående både före och efter pausen vid t 50 Även om vi inte testat för det här fallet, skulle vi inte förvänta oss att Dickey-Fuller skulle vara väldigt robust mot dessa modeller med en strukturell paus i dem. Den observerade teststatistiken är faktiskt t 507.Nå överväga en icke-stationär modell där det har funnits en enstaka puls. Där är DP en i en given period och noll annars. Ett exempel är i följande figur. Den röda linjen är originalserien Den blå linjen är den Enkel regression av yt i tid a -8 086, b 23 3 Det finns en uppenbar paus vid t 50. Regressionen av yt på dess fördröjda värde ger oss. Ovan utan ett formellt test leder koefficientens storlek till att vi misstänker en rotationsenhet, vilket verkligen är fallet. Utan ett statistiskt test är vi verkligen kan inte skilja det här fallet från tidigare fall. Phillips och Perron har utvecklat ett test för detta problem Tänk på arbetsmodellen. in vilken DP är en puls lika med en i en period och noll annars är DL en under några på varandra följande perioder och noll annars. Step 1 Uppskatta koefficienterna för den fullständiga modellen. Steg 2 Jämför t-statistiken till kritiska värden i Perron Av särskilt intresse blir koefficienten en 1. När Perron använde denna metod för att analysera Plosser-Nelson-data fann han att de flesta Makro tidsserier är trend stationära. Testning av nollhypotesen av stationaritet mot alternativet för en enhet rot Hur säker är vi att ekonomiska tidsserier har en rotationsenhet. Vi föreslår ett test av nollhypotesen att en observerbar ser ies är stationär kring en deterministisk trend Serien uttrycks som summen av deterministisk trend, slumpmässig promenad och stationärt fel, och testet är LM-testet av hypotesen att slumpmässig promenad har nollvariation. Den asymptotiska fördelningen av statistiken är härledd under null och under alternativet att serien är skillnadsstabil Finitprovstorlek och effekt beaktas i ett Monte Carlo-experiment Testet appliceras på Nelson-Plosser-data, och för många av dessa serier kan hypotesen om trendstabilitet inte vara avvisas. Välj ett alternativ för att hitta åtkomst till denna artikel. Kontrollera om du har tillgång genom dina inloggningsuppgifter eller din institution. Kontrollera för den här artikeln någon annanstans. Citera artiklar 0.Den andra och tredje författaren tackar tacksamt stöd från National Science Foundation. Copyright 1992 Publicerad av Elsevier B V. Enhanced PDF 288 KB. Den asymptotiska teorin för olika estimatorer baserade på Gaussian sannolikhet har utvecklats för t han-enhetens rot - och närhetsenhetens rotfall av en första ordningens rörliga genomsnittsmodell Tidigare studier av MA 1-enhetens rotproblem bygger på den speciella autokovariansstrukturen för MA 1-processen, i vilket fall egenvärdena och egenvektorerna i kovariansmatrisen av datav vektorn har kända analytiska former I detta papper tar vi ett annat tillvägagångssätt för att först överväga den gemensamma sannolikheten genom att inkludera ett förstorat initialvärde som en parameter och sedan återställa den exakta sannolikheten genom att integrera ut det ursprungliga värdet. Detta tillvägagångssätt överför svårigheten för att beräkna en explicit sönderdelning av kovariansmatrisen och kan användas för att studera rotorns beteende vid glidande medelvärden utöver första ordningen. Asymptotiken för generaliserad sannolikhetsförhållande GLR-statistik för testningsenhetens rötter studeras också. GLR-testet har operativa egenskaper som är konkurrenskraftiga med det lokalt bäst invarianta objektiva LBIU-testet av Tanaka för några lokala alternativ och dominerar för alla andra alternativ atives. Article information. Dates Första tillgängliga i Project Euclid 24 januari 2012.Permanent länk till detta dokument. Digital Object Identifier doi 10 1214 11-AOS935.Davis, Richard En Song, Li Enhet rötter i glidande medelvärden utöver första order Ann Statist 39 2011 , nr 6, 3062--3091 doi 10 1214 11-AOS935. 1 Anderson, TW och Takemura, A 1986 Varför uppträder icke-omvända beräknade glidmedelvärden J Tidsserie Anal 7 235 254. 2 Andrews, B Calder, M och Davis, RA 2009 Maximal sannolikhetsberäkning för - stabila autoregressiva processer Ann Statist 37 1946 1982. 3 Andrews, B Davis, RA och Breidt, FJ 2006 Maximal sannolikhetsberäkning för all-pass-tidsseriemodeller J Multivariate Anal 97 1638 1659. 4 Breidt, FJ Davis, RA Hsu, N - J och Rosenblatt, M ​​2006 Pile-up-sannolikheter för Laplace sannolikhetsestimatorn för ett icke-inverterbart första ordning glidande medelvärde I tidsserie och relaterade ämnen Institute of Mathematical Statistics Föreläsningsnoteringar Monograph Series 52 1 19 IMS, Beachwood, OH. 5 Breidt, FJ Davis, RA och Trindade, AA 2001 Minsta avviksberäkning för all-pass-tidsseriemodeller Ann Statist 29 919 946. 6 Brockwell, PJ och Davis, RA 1991 Tidsserie Teori och metoder Springer, New York. Matematiska recensioner MathSciNet MR1093459. 7 Chan, NH och Wei, CZ 1988 Begränsande fördelningar av minsta kvadrater uppskattningar av instabila autoregressiva processer Ann Statist 16 367 401. 8 Chen, MC Davis, RA och Song, L 2011 Inferens för regressionsmodeller med fel från en icke-inverterbar MA 1 process J Prognos 30 6 30. 9 Davis, RA Chen, M och Dunsmuir, WTM 1995 Inferens för MA 1-processer med en rot på eller nära enhetscirkeln Probab Math Statist 15 227 242.Matematiska recensioner MathSciNet MR1369801. 10 Davis, RA och Dunsmuir, WTM 1996 Maximal sannolikhetsbedömning för MA 1-processer med en rot på eller nära enhetscirkeln Ekonometrisk teori 12 1 29. 11 Davis, RA och Dunsmuir, WTM 1997 Minsta avvikelseberäkning för regression med ARMA-fel J Theoret Probab 10 481 497. 12 Davis, RA Knight, K och Liu, J 1992 M-bedömning för autoregressioner med oändlig varians Stokastisk process Appl 40 145 180. 13 Davis, RA och Song, L 2012 Funktionell konvergens av stokastiska integraler med tillämpning på Statistisk Inferens Stokastisk Process Appl 122 725 757. 14 Hall, P och Heyde, CC 1980 Martingale Limit Theory och dess Application Academic Press, New York. Matematiska recensioner MathSciNet MR624435. 15 Lehmann, E L 1999 Elements of Large-Theory Springer, New York. Matematiska recensioner MathSciNet MR1663158. 16 Rosenblatt, M ​​2000 Gaussian och Non Gaussian Linear Time Series och Random Fields Springer, New York. Matematiska recensioner MathSciNet MR1742357. 17 Sargan, JD och Bhargava, 1983 En högsta sannolikhetsbedömning av regressionsmodeller med första ordningen rörande genomsnittliga fel när roten ligger på enhetscirkeln Econometrica 51 799 820. 18 Shephard, N 1993 Maximal sannolikhetsbedömning av regressionsmodeller med stokastiska trendkomponenter J Amer Statist Assoc 88 590 595. 19 Smith, RL 2008 Statistisk trendanalys I väder - och klimatekstrakterna i ett klimatförändring Bilaga A 127 132. 20 Tanaka, K 1990 Test för en rörlig genomsnittsrotsekonometrisk teori 6 433 444. 21 Tanaka, K 1996 Tidsserieanalys Icke-stationär och icke-omvändbar distributionsteori Wiley, New York. Matematiska recensioner MathSciNet MR1397269.